Question

(2006重庆课改，28)(10分)如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成两个三角形(如图2所示)．将纸片沿直线(AB)方向平移(点A，，，B始终在同一条直线上)，当点与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，与交于点E，与、分别交于点F、P．

图1

图2

(1)当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的数量关系，并证明你的猜想；

图3

(2)设平移距离为x，重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

(3)对于(2)中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)．(1分) 因为∥，所以． 又因为∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线， 所以DC=DA=DB，即． 所以，所以．(2分) 所以．同理：． 又因为，所以．所以．(3分) (2)因为在RtΔABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10．即． 又因为，所以 ．所以． 在中，到的距离就是ΔABC的AB边上的高，为． 设的边上的高为h，由探究，得，所以． 所以．．(5分) 又因为，所以． 又因为． 所以．(7分) 而． 所以(0≤x≤5)．(8分) (3)存在．当时，即． 整理，得．解得，． 即当或x=5时，重叠部分面积等于原ΔABC面积的．(10分)