摘要：⒈能列一元二次方程解决经济类型的应用题.提高将实际问题转化为数学问题的能力. ⒉逐步树立用数学的意识.
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阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=
-t．①
∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2(
+t)(
-t)+6c+
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=
．a=b=
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c． 查看习题详情和答案>>
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
| 3 |
| 2 |
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
| 3 |
| 2 |
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
| 5 |
| 4 |
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
| 5 |
| 4 |
将c=-1代入④，得t2-3t+
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| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
| 1-2c |
| 2 |
| 1-2c |
| 2 |
∵a2+b2+6c+
| 3 |
| 2 |
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将①代入②，得（1-2c）2-2(
| 1-2c |
| 2 |
| 1-2c |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
| m |
| 2 |
| m |
| 2 |
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c． 查看习题详情和答案>>
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=，即a=b=．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=-t．①
∵a2+b2+6c+=0，∴（a+b）2-2ab+6c+=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=，b=．a=b=，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
查看习题详情和答案>>
（2002•荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=
-t．①
∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=
．a=b=
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+③由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=，即a=b=．∴a=b，c=-1．解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=-t．①∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+=0．②将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+=0．整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=．a=b=，c=-1．以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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（2002•荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=
-t．①
∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=
．a=b=
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+③由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=，即a=b=．∴a=b，c=-1．解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=-t．①∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+=0．②将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+=0．整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=．a=b=，c=-1．以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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（2002•荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=
-t．①
∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+
=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=
．a=b=
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
=0，求a、b、c的值．解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
=0．②将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
=0．∴ab=2c2+c+③由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
=0④的两个实数根．∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，将c=-1代入④，得t2-3t+
=0．∴t1=t2=，即a=b=．∴a=b，c=-1．解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=-t．①∵a2+b2+6c+
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+=0．②将①代入②，得（1-2c）2-2
+6c+=0．整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=．a=b=，c=-1．以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
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