题目内容

（2002•荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+=0．②
将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+=0．∴ab=2c2+c+③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t2-3t+=0．∴t1=t2=，即a=b=．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=+t，b=-t．①
∵a2+b2+6c+=0，∴（a+b）2-2ab+6c+=0．②
将①代入②，得（1-2c）2-2+6c+=0．
整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=，b=．a=b=，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=+t，y=-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．
【答案】分析：（1）此题可以利用方程组的知识建立起a与b之间的关系，根据非负数的性质解答；
（2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．
解答：（1）解：由已知等式消去c，得a2+b2+3（1-a-b）+=0，即a2+b2-3a-3b+=0，
∴（a-）2+（b-）2=0，
故a=，b=，
于是由a+b+2c=1，得c=-1，
故a=b=，c=-1；

（2）证明：由已知得a+b=6-c ①
（a+b）2+c2-2ab=12 ②
将①代入②得（6-c）2+c2-2ab=12，
∴ab=c2-6c+12 ③
由①③可知，a、b是关于t的方程t2-（6-c）t+c2-6c+12=0 ④的两个实数根．
∴△=（6-c）2-4（c2-6c+12）≥0，
化简得（c-2）2≤0，
而（c-2）2≥0，
∴c=2．
将c=2代入④，
解得t1=t2=2，
∴a=b=2，
∴a=b=c．
点评：此题是一道材料分析题，给出了解题的范例，考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，需要认真对待．
练习册系列答案
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（2002•宜昌）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答．
已知：m是关于x的方程mx2-2x+m=0的一个根，求m的值．
解：把x=m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，
∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=1符合题意．
答：m的值是1．
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