已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建

立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折

得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得

直线重合．

（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标

已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建

立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折

得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得

直线重合．

（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标

如图是用矩形厚纸片（厚度不计）做长方体包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“舌头”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若用长31cm，宽26cm的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“舌头”的宽度相等．求“舌头”的宽度和纸盒的高度；
（2）现有一张40cm×35 cm的矩形厚纸片，按如图所示的方法设计包装盒，用来包装一个圆柱形工艺笔筒，已知该种笔筒的高是底面直径2.5倍，要求包装盒“舌头”的宽度为2cm（如有多余可裁剪），问这样的笔筒底面直径最大可以为多少？