摘要：例1. 已知:在△ABC中.∠C＝90°.∠A.∠B.∠C的对边为a.b.c.求证:a2+b2＝c2. 证明方法一:取四个与Rt△ABC全等的直角三角形.把它们拼成如图所示的正方形. 如图.正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 + 正方形PQRS的面积 ∴ 2 ＝ 1/2 ab × 4 + c2 a2 + 2ab + b2 ＝ 2ab + c2 故 a2 + b2 ＝c2 证明方法二: 图1中.甲的面积 ＝ - . 图2中.乙和丙的面积和＝-. 因为图1和图2的面积相等. 所以甲的面积＝乙的面积+丙的面积 即:c2 ＝ a2 + b2 证明方法三: 四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 ＝大正方形的面积. 2ab + 2 ＝ c2. 2ab + a2 - 2ab + b2 ＝ c2 故 a2 + b2＝c2 证明方法四: 梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和 1/2 × ＝ 2 × 1/2 × a × b + 1/2 × c × c 2 ＝ 2ab + c2 a 2 + 2ab + b2 ＝ 2ab + c2 故 a2 + b2＝c2 点拨:以上四种方法均是使用了面积的方法.勾股定理的证明方法很多.有四百多种.在后面学习了相似三角形之后.我们还可以用相似三角形的方法来证明. 例2. 在Rt△ABC.∠C＝90° ⑴已知a＝b＝5.求c. ⑵已知a＝1.c＝2. 求b. ⑶已知c＝17.b＝8. 求a. ⑷已知a:b＝1:2.c＝5. 求a. ⑸已知b＝15.∠A＝30°.求a.c. 分析:⑴已知两直角边.求斜边直接用勾股定理.⑵⑶已知斜边和一直角边.求另一直角边.用勾股定理的变形式.⑷⑸已知一边和两边比.求未知边. 解:由a2 + b2＝c2得. (1)c2＝ 52 + 52＝50. 即:c＝, (2)12 + b2＝22.b2＝3.即:b＝, (3)a2 + 82＝172 .a2＝225.即:a＝15, (4)由a:b＝1:2得.b＝2a. 则:a2 + (2a)2＝52 即:a＝, (5)由∠A＝30°得.c＝2a. 则:a2 +152＝(2a)2 . 解得:a＝.c＝2. 注:本题中的.在学习二次根式之后还可以进一步化简.此处不作要求. 例3. 已知:如图.等边△ABC的边长是6cm.⑴求等边△ABC的边AB上的高CD.⑵求S△ABC. 分析:等边三角形的每边上的高.中线和该边所对的角的角平分线.三线合一. 解:(1)∵△ABC 是等边三角形 CD⊥AB ∴CD平分AB ∵△ABC的边长是6cm ∴AD＝BD＝AB＝3 cm 在直角三角形ACD中. AD2+CD2＝AC2 32+CD2＝62 CD＝ (2)S△ABC＝AB·CD＝×6×＝3(cm2) 例4. 飞机在空中水平飞行.某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处.过了 20 秒.飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米? 分析:根据题意.可以先画出符合题意的图形.如图.图中△ABC的∠C＝90°.AC＝4000米.AB＝5000.米欲求飞机每小时飞行多少千米.就要知道20秒时间里飞行的路程.即图中的CB的长.由于△ABC的斜边AB＝5000米.AC＝4000米.这样BC就可以通过勾股定理得出.这里一定要注意单位的换算. 解:由勾股定理得 即 BC＝3千米 飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为: 答:飞机每小时飞行 540千米. 例5. 如图在中...的平分线AD交BC于D.求证:. 证明:. 平分 在中 点评:本题是一道勾股定理的运用题.在本题中我们也用到了角平分线的知识. 例6. 如图.在中.于D.求CD的长. 解:是直角三角形 .由勾股定理有 又 答:CD的长是24cm. 点评:(1)勾股定理的应用前提是在直角三角形中,(2)本题求CD也可以分别在和中用勾股定理列方程组来求解.显然解方程需要以后的知识而且比用面积法繁杂些. 例7. 在一棵树的10m高的B处有两只猴子.其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处.另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处.如果两只猴子所经过的距离相等.试问这棵树有多高? 分析:如图所示.其中一只猴子从共30m.另一只猴子从也共走了30m.并且树垂直于地面.于是此问题可化归到直角三角形解决. 解:如图.设.由题意知 中..解之得 答:这棵树高15m. 点评:本题的关键是依题意正确地画出图形.在此基础上.再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决. [模拟试题]

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