Question

（本小题满分8分）

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE＝45°．

1.（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上       ，        ；

2.（2）设BE＝m，CD＝n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

3.（3）如图②，当BE＝CD时，求DE的长；

4.（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE²=BD²+CE².

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；（写出任意两对即可）

2.（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，

由（1）知 △BAE∽△CDA，

∴.

∴. ∴ （）

3.（3）由（2）只BE·CD＝4，

∴BE＝CD＝2.

∴BD＝BC－CD＝.

∴DE＝BE－BD＝

4.（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，

则FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，

∴∠FBD＝90°.

∴. ……………6分

∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，

∴∠FAD＝∠DAE.

又∵AD＝AD，AF＝AE，

∴△AFD≌△AED.

∴DE＝DF. ………………………………………………………………………7分

∴

【解析】略