如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AD=b，点E、F分别是两腰AB、CD上的点，且EF∥AD，设AE=d₁、BE=d₂，
研究、发现：
（1）当时，有EF=；
当时，有EF=；
当时，有EF=；
（2）当时，有EF=；当时，有EF=；
当时，有．
填空：①当时，有EF=______；当时，EF=______．
猜想、证明
②时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）并证明你的结论；
③进一步猜想当时，有何结论（其中m、n均为正整数）写出你的结论．
解决问题
（3）如图2，有一块梯形木框ABCD，AD∥BC，AD=1米，BC=3米，AB=5米，要在中间加两个横档．操作如下：在AD上取两点E、F，使AE=2米，EF=1.5米，分别从E、F两处做与两底平行的横档EM、FN，求需要木条的总长．

如图，四边形ABCD中，E、F、G、日分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连结AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．

    (1)如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形；

    当四边形ABCD的对角线满足_____________时，四边形EFGH为矩形；

    当四边形ABCD的对角线满足_____________时，四边形EFGH为正方形．

    (2)探索△AEH、△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明．

    (3)如果四边形ABCD的面积为2．那么中点四边形EFGH的面积是多少?

如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．
（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形；
当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形；
（2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；
（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？