已知函数f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=-1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

（2009•金山区二模）设函数f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）请先阅读下列材料，然后回答问题．
材料：已知函数g（x）=-

1

f(x)

，问函数g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．一个同学给出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，则u=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
当x=-

1

2

时，u有最大值，u_max=

1

4

，显然u没有最小值，
∴当x=-

1

2

时，g（x）有最小值4，没有最大值．
请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
（3）设a_n=

f(n)

2n-1

，请提出此问题的一个结论，例如：求通项a_n．并给出正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，．解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

与

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并说明理由．

对函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)（其中A，B为常数），则称f（x））=ax²+bx+c（a≠0）为“可分解函数”．
（1）试判断f（x）=x²+3x+2是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；
（2）用反证法证明：f（x）=x²+x+1不是“可分解函数”；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式．