Question

对函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)（其中A，B为常数），则称f（x））=ax²+bx+c（a≠0）为“可分解函数”．
（1）试判断f（x）=x²+3x+2是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；
（2）用反证法证明：f（x）=x²+x+1不是“可分解函数”；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式．

Answer 1

分析：（1）由于当f（x）=x²+3x+2时，

1

f(x)

=

1

x2+3x+2

=

-1

x-(-2)

+

1

x-(-1)

，根据“可分解函数”的概念，要得结论，并求出A，B值；
（2）假设f（x）=x²+x+1是“可分解函数”，根据“可分解函数”的定义及多项式相等的条件，可构造方程组，进而根据方程组无解，可得结论；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，根据“可分解函数”的定义及多项式相等的条件，可构造方程组，求出A，B的表达式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+3x+2
∴

1

f(x)

=

1

x2+3x+2

=

1

(x+2)(x+1)

=

-1

x-(-2)

+

1

x-(-1)

故函数f（x）=x²+3x+2为“可分解函数”，且A=-1，B=1
（2）假设f（x）=x²+x+1是“可分解函数”，即存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

x2+x+1

即

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1•x2

）=

1

x2+x+1

，
即

A+B=0 Ax2+Bx1=-1 x1+x2=-1 x1•x2=1

，
由于方程组

x1+x2=-1 x1•x2=1

无解，
所以假设不真，
故原命题成立．
即f（x）=x²+x+1不是“可分解函数”；
（3）因为f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，
所以存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1•x2

）=

1

a

•

1

x2+x+ 4 a

，
所以x2+x+

4

a

=0有两个不同的实根，所以△=1-

16

a

＞0
解得：a＞16或a＜0
此时方程x2+x+

4

a

=0有两个不同的实根，
且x1=

-1- 1- 16 a

2

，x2=

-1+ 1- 16 a

2

代入

A+B=0 Ax2+Bx1=-1

解得

A=- a a-16 B= a a-16

点评：本题以新定义“可分解函数”为载体考查了因式分解，反证法，及多项式相等的条件等知识点，是函数问题的综合应用，难度较大，正确理解新定义的概念，并由此构造相应的方程组是解答的关键．