（本题13分）已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n a_{n 1})x² (a_{n + 1} a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = 时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．

（本题满分13分）   探究函数的最大值，并确定取得最大值时的值.列表如下：

请观察表中值随值变化的特点，完成以下的问题.

函数在区间上递减；

（1）函数在区间                      上递增.

当                时，                  .

（2）证明：函数在区间递减.

（3）思考：函数有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时为何值？（直接回答结果，不需证明）.

(本题满分13分) 已知函数，．

（1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；

（本小题满分13分）

  已知点是函数的图像上的两点，若对于任意实数，当时，以为切点分别作函数的图像的切线，则两切线必平行，并且当时函数取得极小值1.[来源:]

（1）求函数的解析式；

（2）若是函数的图像上的一点，过作函数图像的切线，切线与轴和直线分别交于两点，直线与轴交于点，求△ABC的面积的最大值.