Question

（本题13分）已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n a_{n 1})x² (a_{n + 1} a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = 时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解析:（1）由已知f′(t) = (a_n a_n-1)?t (a_{n + 1} a_n) = 0．

    即 (a_n a_{n 1}) t = (a_{n + 1} a_n)

    又a₂ a₁ = t² t，t≠0且t≠1．

    ∴a₂ a₁≠0．

    ∴

    ∴数列{a_{n + 1} a_n}是首项为t² t，公比为t的等比数列．……………………4分

   （2）由（1）知a_{n + 1} a_n = (t² t)?tⁿ¹ = t ⁿ⁺¹ t ⁿ．

    ∴a_n a_n1 = tⁿ tⁿ¹；    a_n1 a_n = tⁿ¹ tⁿ²；……a₂ a₁ = t² t

    以上n个式子相加：a_na₁ = tⁿ t， a_n = tⁿ， (t≠0且t≠1)．………………6分

    b_n = a_n ln |a_n| = tⁿ?ln |tⁿ| = n?tⁿ?ln|t|．

    ∴S_n = (t + 2?t² + 3?t³ + … +n?tⁿ )?ln |t|

    t S_n = (t² + 2t³ + …+ nt^{n + 1}) ln |t|

    ∴S_n = …………………………………………9分

    （3）因为t =，即1＜t＜0．

    ∴当n为偶数时，b_n = n?t ⁿ ln| t |＜0

      当n为奇数时，b_n = n?t ⁿ ln| t |＞0

    所以最大项必须为奇数项．…………………………………………10分

    设最大项为b_{2k + 1}，则有

    即．

    整理得：    将

    ∵k∈N⁺    ∴k = 2．

    即数列{b_n}中的最大项为第5项．………………………………13分