（2012•扬州模拟）已知等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，首项a₁=1．
（Ⅰ）若

S1

+

S3

=2

S2

，求S₅；
（Ⅱ）若数列{a_n}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②

Sm

+

Sp

=2

Sn

，求数列的通项a_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，设bn=3•(

1

2

)an（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，记集合T_n中所有元素之和B_n，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式

1

bnBn-k

+

1

k-bn+1Bn+1

＞0成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．

若数列{a_n}的前四项为2，0，2，0，则这个数列的通项公式不能是（　　）

（2008•奉贤区模拟）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1 n )( C 2 n )( C 3 n )…( C n-1 n )( C n n )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．

（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）已知数列{c_n}满足c_n=

an

3n

（n∈N^*），试建立数列{c_n}的递推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

（2012•丰台区一模）已知函数f（x）=x²+x，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足a_n+1=f'（a_n），且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=b，b_n+1=f（b_n）．
（ⅰ）是否存在实数b，使得数列{b_n}是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）若b＞0，求证：

n

i=1

bi

bi+1

＜

1

b

．