已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1，过其左焦点F₁作一条直线交椭圆于A，B两点，D（a，0）为F₁右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M，N．若以MN为直径的圆恰好过F₁，求a的值．

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为

3

2

，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

已知椭圆C₁的中心在原点，离心率为

4

5

，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦点F₂作垂直于x轴的直线交双曲线C₂于M、N两点．
（I）求椭圆C₁的标准方程；
（II）若双曲线C₂与椭圆C₁有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，求双曲线C₂的标准方程；
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，求双曲线C₂的离心率的取值范围．

（2006•海淀区二模）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于

3

，求双曲线C的方程．

如图，点F是椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为

1

2

，三角形ABF的面积为

3 3

2

，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N （M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．