Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1，过其左焦点F₁作一条直线交椭圆于A，B两点，D（a，0）为F₁右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M，N．若以MN为直径的圆恰好过F₁，求a的值．

Answer 1

分析：由椭圆方程求出左焦点坐标，左准线方程，当直线AB的斜率存在时，设出斜率，写出直线AB的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B两点的横纵坐标的积，然后再设出M，N的坐标，由M、A、D共线把M的坐标用A的坐标表示，由N、B、D共线把N的坐标用B的坐标表示，再由

F1M

•

F1N

=0求出M，N的纵坐标的乘积，把M，N的纵坐标的乘积转化为A，B的坐标乘积后代入根与系数关系，最后得到等式求解a的值；当直线AB的斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，分别写出AD和BD的方程，求出M和N的坐标，利用

F1M

•

F1N

=0求解a得值．

解答：解：由椭圆

x2

25

+

y2

16

=1，得F₁（-3，0），左准线方程为x=-

25

3

．
当直线AB的斜率存在时，设AB方程为y=k（x+3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x+3) x2 25 + y2 16 =1

，得（16+25k²）+150k²x+225k²-400=0．
x1+x2=-

150k2

16+25k2

，x1x2=

225k2-400

16+25k2

．
y1y2=k2(x1+3)(x2+3)=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]
=k2[

225k2-400

16+25k2

-

450k2

16+25k2

+9]=-

256k2

16+25k2

．
设M(-

25

3

，y3)，N(-

25

3

，y4)．
由M、A、D共线，得y3=

(3a+25)y1

3(a-x1)

．
由N、B、D共线，得y4=

(3a+25)y2

3(a-x2)

．
又

F1M

=(-

16

3

，y3)，

F1N

=(-

16

3

，y4)．
由已知得

F1M

⊥

F1N

⇒

F1M

•

F1N

=0，得
y3y4=-

256

9

，而y3y4=

(3a+25)2y1y2

9(a-x1)(a-x2)

，即
-

256k2

16+25k2

•

(3a+25)2

9(a-x1)(a-x2)

=-

256

9

，整理得
（1+k²）（16a²-400）=0，解得a=±5，
又a＞-3，∴a=5．
当AB的斜率不存在时，求得A(-3，-

16

5

)，B(-3，

16

5

)．
AD方程为

y-0

- 16 5 -0

=

x-a

-3-a

，即y=

16

5

•

x-a

3+a

，
取x=-

25

3

，得y=-

16(25+3a)

15(3+a)

，∴M(-

25

3

，-

16(25+3a)

15(3+a)

)．
由对称性可得N(-

25

3

，

16(25+3a)

15(3+a)

)．

F1M

=(-

16

3

，-

16(25+3a)

15(3+a)

)，

F1N

=(-

16

3

，

16(25+3a)

15(3+a)

)．
由

F1M

•

F1N

=0，得

256

9

=

256(25+3a)2

225(3+a)2

．
解得：a=-15或a=-

45

7

．
∵a＞-3，∴此时的a不合题意．
综上，a的值为5．

点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，需要大胆的设未知量，然后利用题目中的关系尽量采用设而不求或整体运算，需要学生有较强的计算能力，是该考试题中的压轴题．