（本题满分15分） 设函数的定义域为，当时，，且对于任意的实数、，都有．（1）求；（2）试判断函数在上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；（3）设数列各项都是正数，且满足， （），又设，，， 当时，试比较与的大小，并说明理由．

（本题满分15分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”

   （I）证明：函数是集合M中的元素；

   （II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。 

（III）若集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：对集合M中的任一元素，方程只有一个实数根。

（本题满分15分） 设函数，若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）对任意的，证明：．

（本题满分15分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．

（Ⅰ）试将污水净化管道的长度表示为的函数

并写出定义域

（Ⅱ）若，求此时管道的长度

（Ⅲ）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度

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