Question

（本题满分15分） 设函数，若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）对任意的，证明：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）（ⅰ）  （ⅱ）见解析

【解析】解：（Ⅰ），依题意有：；  ……2′

（Ⅱ）恒成立.

   （ⅰ）恒成立即.  

 恒成立，则.

    当时，

    ，，则，g’(x)>0，g(x)单调递增，当，g’(x)<0，g(x) 单调递减，则，符合题意；

即恒成立，实数a的取值范围为

；                             ……6′

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数a的取值范围为.

方法一：令，考虑函数

则对任意的，成立．                 ……7′

思路分析：第一问中利用，依题意有：

第二问，恒成立.

   （ⅰ）恒成立即.恒成立，则.

当时，

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数a的取值范围为.

方法一：令，考虑函数