Question

（本题满分15分） 设函数，若在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）对任意的，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）见解析

解：（Ⅰ），依题意有：； ……2′
（Ⅱ）恒成立.
（ⅰ）恒成立即.  
恒成立，则.
当时，
，，则，g’(x)>0，g(x)单调递增，当，g’(x)<0，g(x) 单调递减，则，符合题意；
即恒成立，实数a的取值范围为
；                            ……6′
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数a的取值范围为.
方法一：令，考虑函数

则对任意的，成立．                ……7′
思路分析：第一问中利用，依题意有：
第二问，恒成立.
（ⅰ）恒成立即.恒成立，则.
当时，
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数a的取值范围为.
方法一：令，考虑函数