(本题满分16分)已知二次函数f (x) = x² ??ax + a (x∈R)同时满足：①不等式 f (x) ≤ 0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立．设数列{a_n}的前 n 项和S_n = f (n)．（1）求函数f (x)的表达式；（2）求数列{a_n}的通项公式；（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若c_i·c_i+1 < 0，则称c_i，c_i+1为这个数列{c_n}一对变号项．令c_n = 1 ?? （n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．

(本题满分16分)

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1(n≥3)，记

(n≥3)．

(1)求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；

(2)设，数列{}的前n项和为S_n，求证：n<S_n<n+1．

(本题满分16分)

设数列是一个无穷数列，记，（）．

⑴若是等差数列，证明：对于任意的，；

⑵对任意的，若，证明：是等差数列；

⑶若，且，，数列满足，由构成一个新数列，，，……，设这个新数列的前项和为，若可以写成，(,，则称为“好和”．问，，，……中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．

（本题满分16分）
设正项等差数列的前n项和为，其中．是数列中满足的任意项．
（1）求证：；
（2）若也成等差数列，且，求数列的通项公式；
（3）求证：．

（本题满分16分）数列的前项和记为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求和；

（3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足：

．

问数列最多有几项？并求这些项的和．