（07年湖北卷理）（14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证：，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

（07年湖北卷理）（14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证：，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

已知数列．
（I）试证数列是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）在数列{b_n}是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（III）试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．