Question

（07年湖北卷理）（14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证：，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

Answer 1

本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解析：解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

（）假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式也成立．

综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立．

（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，

于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，

，

．

即．即当时，不存在满足该等式的正整数．

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当，且时，，．　　①

（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；

（）假设当时，不等式①成立，即，则当时，

因为，所以．又因为，所以．

于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

（Ⅱ）证：当，时，，，

而由（Ⅰ），，

．

（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，

即有．　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，与②式矛盾．

故当时，不存在满足该等式的正整数．

下同解法1．