摘要：16．空间向量与立体几何(1)空间向量及其运算 ① 了解空间向量的概念.了解空间向量的基本定理及其意义.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示.能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量． ② 能用向量语言表述直线与直线.直线与平面.平面与平面的垂直.平行关系． ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．④ 能用向量方法解决直线与直线.直线与平面.平面与平面的夹角的计算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
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在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=| 1 | 4 |
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长．
请先阅读：
设平面向量
=（a1，a2），
=（b1，b2），且
与
的夹角为θ，
因为
•
=|
||
|cosθ，
所以
•
≤|
||
|．
即a1b1+a2b2≤
×
，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
+
+
)(
+
+
)成立；
（II）试求函数y=
+
+
的最大值．
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设平面向量
| a |
| b |
| a |
| b |
因为
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
| a |
| b |
即a1b1+a2b2≤
|
|
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
| a | 2 1 |
| a | 2 2 |
| a | 2 3 |
| b | 2 1 |
| b | 2 2 |
| b | 2 3 |
（II）试求函数y=
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于点N，M是PD中点．