摘要：10．已知⊙O′过定点A(0.p)(p＞0).圆心O′在抛物线C:x2＝2py(p＞0)上运动.MN为圆O′在x轴上所截得的弦． 图2 (1)当O′点运动时.|MN|是否有变化?并证明你的结论, (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时.试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系.并说明理由． [解] (1)设O′(x0.y0).则x＝2py0(y0≥0). 则⊙O′的半径|O′A|＝. ⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2＝x+(y0-p)2. 令y＝0.并把x＝2py0.代入得x2-2x0x+x-p2＝0. 解得x1＝x0-p.x2＝x0+p.所以|MN|＝|x1-x2|＝2p. 这说明|MN|不变化.其定值为2p. (2)不妨设M(x0-p,0).N(x0+p,0)． 由题2|OA|＝|OM|+|ON|.得2p＝|x0-p|+|x0+p|. 所以-p≤x0≤p. O′到抛物线准线y＝-的距离d＝y0+＝. ⊙O′的半径|O′A|＝ ＝ ＝. 因为r＞d⇔x+4p4＞(x+p2)2⇔x＜p2. 又x≤p2＜p2(p＞0).所以r＞d. 即⊙O′与抛物线的准线总相交． B组 能力提升

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