Question

已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x²＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）|MN|不变化，其定值为2p 见解析
（2）见解析

(1)设O′(x₀，y₀)，则x₀²＝2py₀(y₀≥0)，
则⊙O′的半径|O′A|＝，
⊙O′的方程为(x－x₀)²＋(y－y₀)²＝x₀²＋(y₀－p)²，
令y＝0，并把x₀²＝2py₀，代入得x²－2x₀x＋x₀²－p²＝0，
解得x₁＝x₀－p，x₂＝x₀＋p，所以|MN|＝|x₁－x₂|＝2p，
这说明|MN|不变化，其定值为2p．
(2)不妨设M(x₀－p,0)，N(x₀＋p,0)．
由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x₀－p|＋|x₀＋p|，
所以－p≤x₀≤p．
O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y₀＋＝，
⊙O′的半径|O′A|＝
＝＝．
因为r＞d?x₀⁴＋4p⁴＞(x₀²＋p²)²?x₀²＜p²，
又x₀²≤p²＜p²(p＞0)，所以r＞d，
即⊙O′与抛物线的准线总相交．