摘要：设P1, P2, -, Pn为平面α内的n个点. 在平面α内的所有点中, 若点P到点P1, P2, -, Pn的距离之和最小, 则称点P为点P1, P2, -, Pn的一个“中位点 . 例如, 线段AB上的任意点都是端点A, B的中位点. 现有下列命题: ①若三个点A, B, C共线, C在线段AB上, 则C是A, B, C的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点A, B, C, D共线, 则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 . [解析] 11.对①, 不妨设P为平面内任一点, ∴|PA|+|PB|≥|AB|=|AC|+|CB|. 故C是A, B, C的中位点. 对②, 设C是Rt△ABC的直角顶点, 斜边AB的中点为D. 于是|DA|+|DB|+|DC|=3|DC|. 但|CA|+|CB|≤·2=2|DC|< 3|DC|, 故D不是A, B, C的中位点. 对③, 不妨设A.B.C.D是顺次的四个点, P是平面内任一点, 点O为P在直线AB上的射影, ∴|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|OA|+|OB|+|OC|+|OD|≥2|BC|+|CD|+|AB|. 由P的任意性知, 只要O点落在线段BC上即可, ③错. 对④, 设梯形ABCD的对角线AC, BD相交于O点, 由于|PA|+|PC|≥|AC|, |PB|+|PD|≥|BD|. ∴|PA|+|PC|+|PB|+|PD|≥|AC|+|BD|=|AO|+|OB|+|OC|+|OD|, 即O为该梯形四个顶点的唯一的中位点.

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