题目内容

 （本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题8分，第（3）题5分）

设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换，

（1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；

，；

，；

（2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；

（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）：函数的值域为，，，

所以，不是的一个等值域变换；      …………2分

：，即的值域为，

当时，，即的值域仍为，

所以，是的一个等值域变换；              …………5分

（2）的值域为，由知，

即定义域为，                              …………6分

因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，

所以，的值域为，            …………8分

，

所以，

恒有，且存在使两个等号分别成立，………10分

于是，

解得 或…………13分

（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，则是的一个等值域变换的充分非必要条件是“=”． …………15分

条件的不必要性的一个例子是．

，，

，，

此时，但的值域仍为，

即是的一个等值域变换。…………18分

（反例不唯一）

练习册系列答案
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（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。

（1）求证：与的关系为；

（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称， 当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。
（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且．
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，   说明理由；

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。

    （1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

    （2）设数列的前项和为，且．

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

    （3）设数列满足（），，，，数列 的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，    说明理由；

 

  (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)

已知函数，其中.

(1)当时，设，，求的解析式及定义域；

(2)当，时，求的最小值；

(3)设，当时，对任意恒成立，求的取值范围.

 

（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；

（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？

（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

 

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