摘要：4．不等式等证明方法:⑴比较法:作差或作比,⑵综合法,⑶分析法.
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已知函数
的定义域为
且
，对任意
都有
数列
满足
N
.证明函数是奇函数;求数列
的通项公式;令
N, 证明:当
时,
.
(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
查看习题详情和答案>>已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
，
…………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
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（理科做）
阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式
+
≥
成立．
（2）用（1）中的不等式求函数y=
+
(0＜x＜
)的最小值，并指出此时x的值．
（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．
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阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式
| a2 |
| x |
| b2 |
| y |
| (a+b)2 |
| x+y |
（2）用（1）中的不等式求函数y=
| 2 |
| x |
| 9 |
| 1-2x |
| 1 |
| 2 |
（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．
所用的最合适的方法是 .
(v>0).