摘要： 设函数.其中是的导函数. (Ⅰ).求的表达式, (Ⅱ)若恒成立.求实数的取值范围, (Ⅲ)设.比较与的大小.并加以证明. 解:(Ⅰ)∵.∴.. ∴..--.所以, 用数学归纳法证明如下: (1)时结论成立, (2)假设时结论成立.即.那么 当时.. 即当时结论也成立. 因此对任意的,成立. (Ⅱ)∵在内恒成立. 设.则. 若.则恒成立.所以在内单调递增. ∴, 若.则在内..单调递减.可见.说明在内.存在.使.即不恒成立. 所以使在内恒成立的取值范围是. (Ⅲ)由题设知. . 猜想. 证明:∵上式左边. ∴上式等价于. 在(Ⅱ)中.当时.. 令.则.即. 所以 -- . 叠加得. 即.
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（本小题满分14分）
设函数
，其中
．
( I )若函数
图象恒过定点P，且点P在
的图象上，求m的值；
(Ⅱ)当
时，设
，讨论
的单调性；
(Ⅲ)在(I)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点P、Q，
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
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，其中
判断
在
上的单调性．
，其中
．
时，判断函数
在定义域上的单调性；
，不等式
都成立．
，其中
．
图象恒过定点P，且点P在
的图象上，求m的值；
时，设
，讨论
的单调性；
，曲线
上是否存在两点P、Q，
，其中a＞0，曲线
在点P（0，
）处的切线方程为y=1
）及（
）处的切线都过点（0,2）证明：当
时，