2．解答：

(1)已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF　 FB=EC 求证：AB=DE.

(2)已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.

(3)已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F

求证：CE=DF.

1．选择：

(1)两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是(　 )个

①这两个三角形全等;　 ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等;　 ④相等的角为直角时全等

A．0　　 B．1　 　C．2　　 D．3

(2)在下列定理中假命题是(　 )

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

(3)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=(　 )

A．1：1　　 B．3：1　　 C．4：1　　 D．2：3

(4)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是(　 )

A．∠1<∠2　　 　　　B．∠1=∠2;　　　 C．∠1>∠2　　　　 D．不能确定

(5)在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是(　 )

A．30°　　　　 B．60°　　　 C．120°　　　 D．150°

2.7 直角三角形全等的判定 同步练习

重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

难点：

创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

讲一讲

例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE

求证：OB=OC.

分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可

证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°

∴在Rt△BCE与Rt△CBD中

∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)

∴∠1=∠2，∴OB=OC

例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE

分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等

即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。

证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°

∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中

BD=BC

BE=BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)

∴DE=EC又∵BD=BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。

分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG

因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。

证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°

∵DE⊥AC∴∠DEC=90°

∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°

∴QF//CD∴QF=DG，

∴∠B=∠GFC

∵F为BC中点

∴BF=FC

在Rt△BQF与Rt△FGC中

∴△BQF≌△FGC(AAS)

∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC

∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG

练一练

24.7 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

第1题. 如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于(　)

A．40º　 B．50º　 C．60º　 D．80º

答案：C．

第2题. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB．

答案：垂直平分线上；垂直平分线上．

第3题. 已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P．

求证：点P在BC的垂直平分线上．

答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上．

第4题. ⑴作一个钝角三角形，利用尺规作这个三角形三条边的垂直平分线；

⑵作直角三角形和锐角三角形，利用尺规作三角形三条边的垂直平分线；

⑶你发现三角形三条边的垂直平分线与三角形的形状有怎样的位置关系？

答案：⑴、⑵略；⑶锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部；直角三角形三边的垂直平分线的交点在斜边上，即斜边的中点；钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部．

第5题. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为(　)

A．60° B．75°

C．90° D．95°

答案：C．

第6题. 如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．

答案：15．

第7题. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论(不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论)？

答案：AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等．

第8题. 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．

求证：点Q在PR的垂直平分线上．

答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．

第9题. 把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是(　)

A．直角三角形　 B．等腰三角形

C．等边三角形　 D．任意三角形

答案：B．

第10题. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是(　)

A．锐角三角形　 B．钝角三角形　 C．直角三角形　 D．不能确定

答案：C．

16. 如图，平行四边形AFDC中，D是FB的中点，若，求之长．

15. 如图，梯形中，为上一点，

且．若，求的长．

14. 如图，在中，，在边上取一点，使，

过作交于，．求的长．

13. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，

已知cm，cm．则图中阴影部分面积为　　　cm．

12. 如图，梯形中，，对角线相交于，

下面四个结论：

　　 ①　　 　 　　②

　　 ③；　 　 ④

其中结论始终正确的有(　　 )

A．1个　　　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个

11. 如右图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)

与相似的是(　)