1.x·x³=　 　　　.

30、为了美化校园环境，争创绿色学校，某区教育局委托园林公司对A，B两校进行校园绿化，已知A校有如图(1)的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图(2)的阴影部分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米²和2500米²出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：

路程、运费单价表

　　　 (注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币)

　　　 求：(1) 分别求出图1、图2的阴影部分面积；

(2) 若园林公司将甲地3500m²的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去A、B两校的总运费；

(3) 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元。　　　　　　　　　　　　 第30题图

例7(2002陕西)如图1，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式,则这个等式是(　 D　 )

　 A．a²－b²＝(a十b)(a-b)

　 B．(a+b)²＝a²+2ab 十b²

　 C．(a－b)²＝a²－2ab+b²

　 D．(a十2b)(a－b)＝＝a²+ab －2b²

分析：图1表示的是a²－b²，图2表示的是(a十b)(a-b)，两者面积相等，所以a²－b²＝(a十b)(a-b).

故选A．

例8(2002年山东省济南市中考题)请你观察图3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_____________．

图3

分析：图中所表示的整个正方形的面积是x²，两个小正方形的面积分别是y²与(x-y)²，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下公式：

x²-2xy+y² = (x-y)²，或者x²-y² = (x+y)(x-y).

当然，在没有限定的情况下，也能写成乘法公式.

根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现.

例9(2003山西)有若干张如图4所示的正方形和长方形卡片，

图4

表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是(　　 )

卡片 　 数量(张) 方案	(1)	(2)	(3)
A	1	1	2
B	1	1	1
C	1	2	1
D	2	1	1

分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是(a+b)².

因为a²+2ab+b²=(a+b)²，对照图4所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a²、b²和ab，它们分别需要1张、1张、2张. 由此可选出正确答案为A.

例10(2003山西太原)如图5是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式　　　　　　　

图5

分析：外框围成的大正方形面积为(a+b)²，4个矩形的面积之和为4ab，中间的空白部分的面积为(a-b)².于是，可以列出等式(a+b)²-4ab = (a-b)².

对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：

(a+b)²-4ab =a²+2ab+b²-4ab = a²-2ab+b² = (a-b)².

29、在通常的日历牌上,可以看到一些数所满足的规律,表1是2005年6月份的日历牌。

(1)　　 在表1中，我们选择用如表2那样2×2的长方形框任意圈出2×2个数，将它们交叉相乘，再相减，如：2×8－1×9＝7，14×20－13×21＝7，24×18－17×25＝7，你发现了什么？再选择几个试试，看看是否都是这样，想一想，能否用整式的运算加以说明。

(2)　　 如果选择用如表3那样3×3的长方形方框任意圈出3×3个数，将长方形方框四解位置上的4个数交叉相，再相减，你发现了什么？请说明理由。

例5(2003福建南平)请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分解.

你编写的三项式是_______________，分解因式的结果是________________.

分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如

2m(m+n)² = 2m(m²+2mn+n²)=2m³+2m²n+2mn²,

3a(2x-5y)²=3a[(2x)²-2×2x×5y+(5y)²]=3a(4x²-20xy+25y²)=12ax²-60axy+75ay²，等等.

于是编写的三项式可以是2m³+2m²n+2mn²，分解因式的结果是2m(m+n)²；

或者编写的三项式可以是12ax²-60axy+75ay²，分解因式的结果是3a(2x-5y)²，等等.

例6(2003四川)多项式9x² + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_________________________(填上一个你认为正确的即可).

分析：根据完全平方公式a²±2ab+b²= (a±b)²的特点，若表示了a²+b²的话，则有a=3x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2(3x)·1=±6x，此时，9x² + 1±6x=(3x±1)²；如果认为9x² + 1表示了2ab+b²的话，则有a=4.5x²，b=1，所以，缺少的一项为a²=(4.5x)²= 20.25x⁴，此时，20.25x⁴+9x² + 1=(4.5x²+1)².

从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到9x²=(3x)²，1=1²，所以，保留二项式9x² + 1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者 - 9x²，此时有9x² + 1-1=9x²=(3x)²，或者9x² + 1-9x²=1².

综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x⁴、-1或者 - 9x².

为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成即求的值(n为正整数)，你分析n=1、n=2，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论(在下面的空格内填上你探索的结果)。

(1)通过计算，探索规律

15²=225　 可写成10×1×(1+1)+25

25²=625　 可写成10×2×(2+1)+25

35²=1225　 可写成10×3×(3+1)+25

45²=2025　 可写成10×4×(4+1)+25

…

　可写成　　　　　　　　　　　　　 。

　可写成　　　　　　　　　　　　　 。

(2)从第(1)题的结果归纳、猜想得：　　　　　　　　　　　 。

(3)根据上面的归纳、猜想，请算出：　　　　　　　　　 。

例3(2002福建福州)观察下列各式：l²+1=1×2，2²+2=2×3，3²+3＝3×4，……

请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来　　　　　　　　　　　　　　 .

分析：根据题意，不难猜想到规律：n²+n=n(n+1).

这个结论就是用提公因式法把n²+n进行了因式分解.

例4(2003青海)请先观察下列算式，再填空： ，． (1)8×　　　 ； (2)－(　 )＝8×4； (3)(　 )－9＝8×5； (4)－(　 )＝8×　　　 　；…… 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

分析：类比各式，可以发现：

(1)8× 3　 ； (2)－( 7)＝8×4； (3)( 11 )－9＝8×5； (4)－( 11 )＝8× 7 ；…… 通过观察归纳，得到这种规律的一般结论是两个连续奇数的平方差能被8整除(或说是8的倍数).

如果我们分别用2n+1和2n-1表示两个相邻的奇数，则利用平方差公式，有

(2n+1)² – (2n-1)² = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n.

例1(2004山西)已知x+y=1，那么的值为_______.

分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x+y的整体形式. 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的.

=(x²+2xy+y²)=(x+y)² = 1² = 1 = .

在此过程中，我们先提取公因式，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y的整体形式，最后将x+y=1代入求出最终结果.

例2(2004广西桂林)计算：___________.

分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即

原式 =

　　　　　　　 　=

　　　　　　　 　=

　　　　　　　 　=

　　　　　　　 　=

　　　　　　　 　= ……

　　　　　　　 　= 2² + 2 = 4+2 = 6.

此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来. 此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题.

设M = ，则-M =

即

.

解得

M = 6.

3、通过乘法公式：(a + b)(a - b)=a² - b²，(a±b)²= a²±2ab + b²的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.

在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意.

2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).

1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体(整式乘法与因式分解)联系.