1. (广东省深圳市2009 届高三九校联考数学试题)

下列说法错误的是　　　 (　　 )

　 A． “”是“”的充分不必要条件；

　 B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”

　 C．若命题：，则；

　 D．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.　

答案：A

9．(广东省四会中学2009届高三上学期第二次质量检测(数学理))

已知命题： P：对任意,不等式恒成立；

q：函数存在极大值和极小值。

求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围。

解: 恒成立，

只需小于的最小值，　 而当时，≥3，

.

存在极大值与极小值，

有两个不等的实根，

，

或.

要使命题“p且q”为真，只需,故m的取值范围为[2，6].

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

8.下列特称命题中假命题为(　　 )

　A. 空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直

　 B. 仅存在一个实数,使得成等比数列

　 C. 存在实数满足,使得的最小值是6

　 D. 恒成立

答案: A

考点三: 由命题真假确定参数范围

[例9] (广东省五校2009届高三上学期第二次联考(数学理))

已知命题：方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.

[解题思路]：因为命题是假命题，由真值表可知，命题p和命题q都是假命题.由此入手分析。 注意参数的分类讨论，做到不重不漏。

解析：由，得显然

所以, 因为方程在上有且仅有一解，故、

所以…

只有一个实数满足不等式所以

因为命题是假命题，所以命题p和命题q都是假命题.

所以的取值范围为

[名师指引]先确定简单命题与复合命题的真假，再由命题的真假划分参数的范围

[新题导练]

7．下列全称命题中真命题为(　　 )

　 A. 一次函数都是单调函数　　 B. 是有理数

　 C. 任何一条直线都有斜率　　 D.

答案: A

6．设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：

①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；

②　　 若存在x₀∈R，使得对任意x∈R，且x≠x₀，有f(x)＜f(x₀)，则f(x₀)是函数

f(x)的最大值；

③若存在x₀∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x₀)，则f(x₀)是函数f(x)的最大值.

这些命题中，真命题的个数是

A.0　　 　　　　　　 B.1 　　　　　　　　 C.2　　 　　　　　　 D.3

解：①错, 原因：可能“=”不能取到. ②③都正确，选C.

5．判断下列语句是不是命题，如果k，，，是，说明是全称命题还是特称命题.

(1) 中国的所有江河都流入太平洋；

(2) 不能作除数；

(3) 有一个实数，不能取对数；

(4)　 每一个向量都有方向吗？

解析：(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题，其中(1)全称命题；(2)既不是全称命题也不是特称命题；(3)特称命题；

题型2: 判断全称命题或特称命题的真假

[例8] 设A、B为两个集合.下列四个命题：

①　　 AB对任意x∈A，有xB； ②ABA∩B=； ③ABAB；

④ AB存在x∈A，使得xB.

其中真命题的序号是______________.(把符合要求的命题序号都填上)

[解题思路]：①要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假。②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x₀，p(x₀)为假。

解析：AB存在x∈A，有xB，故①错误；②错误；④正确. 亦或如下图所示.

③ABAB不成立的反例如下图所示. 反之，同理.

　真命题的序号是④

[名师指引]判断全称命题与特称命题真假时，若判定一个特称性命题为真，只需找出一个例子即可否则命题为假；若判定一个全称命题为真，必须对每一个元素都为真；但判断其为假，只需要举出一个反例即可。

[新题导练]

4．(广东省四会中学2009届高三质量检测(数学理))

已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　 )

A．　 　 B．　　　 C．　　 D．

答案：D

考点二: 全称命题与特称命题及其真假判断

题型1: 判断命题是全称命题还是特称命题。

　[例7] 判断下列语句是不是命题，如果k，，，是，说明是全称命题还是特称命题.

　(1) 任何一个实数除以1，仍等于这个数；

(2) 三角函数都是周期函数吗？

(3) 有一个实数，不能取倒数；

(4) 有的三角形内角和不等于

[解题思路]：含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题.但要注意有些命题可能省略了量词.

解析： (1)全称命题；(2)不是命题；(3)特称命题；(4)特称命题；

[名师指引]含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题.但要注意有些命题可能省略了量词.

[新题导练]

3. 分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假。

(1)p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等。

(2)p: 1是方程的解；q：3是方程的解。

(3)p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为。

(4)p:

解：⑴ 　p真，q假，　 “pq”为真，“pq”为假，“p”为假。

⑵　 　p真，q真，　 “pq”为真，“pq”为真，“p”为假。

⑶ 　p假，q假，　 “pq”为假，“pq”为假，“p”为真。

⑷ 　p真，q假，　 “pq”为真，“pq”为假，“p”为假。

2．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：

　(1)p：是无理数，q： 大于是2

　　 (2)p：，q：

　　 (3)p： ， q： 　

解： (1)p或q：是无理数或大于2

　　　　　 p且q： 是无理数且大于2

非p：　 不是无理数

(2)p或q：或

　　 p且q： 且

非p：　

(3)p或q：或 　

　　 p且q： 且 　

非p：　

题型2。判断复合命题的真假

[例3] 写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

(1)p：5是17的约数，q：5是15的约数.

(2)p：方程x²－1=0的解是x=1,　 q：方程x²－1=0的解是x=－1,

(3)p：不等式的解集为R，q：不等式的解集为

[解题思路]：写三种形式的复合命题时，在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。判断复合命题真假时，关键是判断简单命题的真假，再按真值表来判断即可.

解析：(1)p或q：5是17或15的约数；

　 p且q：5是17与15的公约数，(或写成：9是17的约数，且9是15的约数)；

　 非p：5不是17的约数.

　∵p假，q真，∴“p或q”为真，“p且q” 为假，而“非p”为真.

(2)p或q：方程x²－1=0的解是x=1,或方程x²－1=0的解是x=－1

(注意，不能写成“方程x²－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符)；

p且q：方程x²－1=0的解是x=1,且方程x²－1=0的解是x=－1；

非p：方程x²－1=0的解不都是x=1(注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思)；

∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q” 均为假，而“非p”为真.

(3)p或q：不等式的解集为R或不等式的解集为.

　　 p且q：不等式的解集为R或不等式的解集为

　　 非p：不等式的解集为.

　 ∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q” 为假，而“非p”为假.

[例4] 已知　 设P：函数在R上单调递减；　 Q：不等式的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，求的取值范围.

[解题思路]：“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，根据真假表知，P，Q之中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论.

解析:函数在R上单调递减

不等式

[名师指引]先判断命题和的真假，再根据真值表判断复合命题的真假.

[新题导练]

1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:

　 (1)3是质数或合数.

　 (2)他是运动员兼教练员.

　 (3)相似三角形不一定是全等三角形.

解: (1) 这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数.

　(2) 这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.

(3) 这个命题是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..