函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)

导数法(适用于多项式函数)

复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

相同函数的判断方法：①　　　　　 ；②　　　　　　 　(两点必须同时具备)

(1)函数解析式的求法：

①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

(2)函数定义域的求法：

①，则　　　　　　　　 ；　 ②则　　　　　 ；

③，则　　　　　　　 ；　 ④如：，则　　　　　　 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数的定义域是，求的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则　　　　 ；定义域为　 　　　　　　　　。

(3)函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

②逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：①(2种方法)；

②(2种方法)；③(2种方法)；

(1)映射的概念： (2)一一映射：(3)函数的概念：

如：若，；问：到的映射有　　　 个，到的映射有　　 个；到的函数有　　 个，若，则到的一一映射有　　 个。

函数的图象与直线交点的个数为　　　　　　 个。

　　 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

注意：“若，则”在解题中的运用，

如：“”是“”的　　　　　　　　 条件。

若　　　　　　　　 ；则是的充分非必要条件；

若　　　　　　　　 ；则是的必要非充分条件；

若　　　　　　　　 ；则是的充要条件；

若　　　　　　　　 ；则是的既非充分又非必要条件；

(1)若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是　　　　　　　 。

(2)中元素的个数的计算公式为：　　　　　　　　　 ；

(3)韦恩图的运用：

(1)符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ；

　　 符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

(2)；；

(3)对于任意集合，则：

①；；；

②　　　　　 ；　　　　　 ；

　　　　　 ；　　　　　　 ；

③　　　　　　 ；　　　　　 ；

(4)①若为偶数，则　　　　　　　　 ；若为奇数，则　　　　　　　　 ；

②若被3除余0，则　　　　　　　　 ；若被3除余1，则　　　　　　　　 ；若被3除余2，则　　　　　　　　 ；

(1)集合中元素的特征：　 确定性 ，　 互异性　 ，　 无序性　 。

集合元素的互异性：如：，，求；

(2)集合与元素的关系用符号，表示。

(3)常用数集的符号表示：自然数集　　 ；正整数集　　 、　　 ；整数集　　　 ；有理数集　　　 、实数集　　　 。

(4)集合的表示法： 列举法 ，　 描述法 ，　 韦恩图　 。

注意：区分集合中元素的形式：如：

；；；；；

；

(5)空集是指不含任何元素的集合。(、和的区别；0与三者间的关系)

　　 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

如：，如果，求的取值。

3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：

　　 ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.

②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.

③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.

④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.

⑤平行转化

⑥垂直转化