常见图像变化规律：(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)

平移变换　y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：(ⅰ)有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过　　　平移得到函数y＝f(2x+4)的图象。

　(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。

对称变换　y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意：它是一个偶函数)

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如：的图象如图，作出下列函数图象：

(1)；(2)；

(3)；(4)；

(5)；(6)；

(7)；(8)；

(9)。

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)

导数法(适用于多项式函数)

复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

相同函数的判断方法：①　　　　　 ；②　　　　　　 　(两点必须同时具备)

(1)函数解析式的求法：

①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

(2)函数定义域的求法：

①，则　　　　　　　　 ；　 ②则　　　　　 ；

③，则　　　　　　　 ；　 ④如：，则　　　　　　 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数的定义域是，求的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则　　　　 ；定义域为　　　　 　　　　　。

(3)函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

②逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：①(2种方法)；

②(2种方法)；③(2种方法)；

(1)映射的概念： (2)一一映射：(3)函数的概念：

如：若，；问：到的映射有　　　 个，到的映射有　　 个；到的函数有　　 个，若，则到的一一映射有　　 个。

函数的图象与直线交点的个数为　　　　　　 个。

　　 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

注意：“若，则”在解题中的运用，

如：“”是“”的　　　　　　　　 条件。

若　　　　　　　　 ；则是的充分非必要条件；

若　　　　　　　　 ；则是的必要非充分条件；

若　　　　　　　　 ；则是的充要条件；

若　　　　　　　　 ；则是的既非充分又非必要条件；

(1)若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是　　　　　　　 。

(2)中元素的个数的计算公式为：　　　　　　　　　 ；

(3)韦恩图的运用：

(1)符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ；

　　 符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

(2)；；

(3)对于任意集合，则：

①；；；

②　　　　　 ；　　　　　 ；

　　　　　 ；　　　　　　 ；

③　　　　　　 ；　　　　　 ；

(4)①若为偶数，则　　　　　　　　 ；若为奇数，则　　　　　　　　 ；

②若被3除余0，则　　　　　　　　 ；若被3除余1，则　　　　　　　　 ；若被3除余2，则　　　　　　　　 ；

(1)集合中元素的特征：　 确定性 ，　 互异性　 ，　 无序性　 。

集合元素的互异性：如：，，求；

(2)集合与元素的关系用符号，表示。

(3)常用数集的符号表示：自然数集　　 ；正整数集　 　、　　 ；整数集　　　 ；有理数集　　　 、实数集　　　 。

(4)集合的表示法： 列举法 ，　 描述法 ，　 韦恩图　 。

注意：区分集合中元素的形式：如：

；；；；；

；

(5)空集是指不含任何元素的集合。(、和的区别；0与三者间的关系)

　　 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

如：，如果，求的取值。