1．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为(　)

A.5 　　　　　　　　　　　　B．6

C．7　 　　　　　　　　　　　D．8

解析：选C.由题意得0.5+0.1+b＝1，且Eξ＝4×0.5+0.1a+9b＝6.3，因此b＝0.4，a＝7，选C.

12．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a+，

于是解得

故f(x)＝x－.

(2)证明：设P(x₀，y₀)为曲线上任一点，由y′＝1+知曲线在点P(x₀，y₀)处的切线方程为

y－y₀＝(1+)(x－x₀)，

即y－(x₀－)＝(1+)(x－x₀)．

令x＝0得y＝－，

从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．

令y＝x得y＝x＝2x₀，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x_0,2x₀)．

所以点P(x₀，y₀)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|－||2x₀|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

11.已知函数f(x)＝x³－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

解：(1)由f(x)＝x³－3x得，f′(x)＝3x²－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，

∴所求直线方程为y＝－2；

(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x₀，y₀)，则f′(x₀)＝3x₀²－3.

又直线过(x₀，y₀)，P(1，－2)，

故其斜率可表示为＝，

又＝3x₀²－3，

即x₀³－3x₀+2＝3(x₀²－1)·(x₀－1)，

解得x₀＝1(舍)或x₀＝－，

故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，

∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x+4y－1＝0.

10．求下列函数的导数：

(1)y＝(1－)(1+)；(2)y＝；

(3)y＝tanx;(4)y=xe^1-cosx.

解：(1)∵y＝(1－)(1+)＝－＝x－－x，

∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.

(2)y′＝()′＝＝＝.

(3)y′＝()′＝

＝＝.

(4)y′=( xe^1-cosx) ′=e^1-cosx+x(e^1-cosx) ′

=e^1-cosx+x[e^1-cosx·(1-cosx)′]

=e^1-cosx+xe^1-cosx·sinx

=(1+xsinx) e^1-cosx.

9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x³+ax²+(a²－1)x+1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.

解析：∵f′(x)＝x²+2ax+(a²－1)，

∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f′(0)＝0，

且－a>0，

∴a＝－1.

故f(－1)＝－－1+1＝－.

答案：－

8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x+2，则f(1)+f′(1)＝________.

解析：由已知切点在切线上，所以f(1)＝+2＝，切点处的导数为切线的斜率，所以f′(1)＝，所以f(1)+f′(1)＝3.

答案：3

7．已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________．

解析：由题可解得P(1，－4)，则由y′＝－4可得曲线C在P处的切线斜率为k＝y′|_x＝1＝－3，故切线方程为y－(－4)＝－3(x－1)即3x+y+1＝0.

答案：3x+y+1＝0

6．(2009年高考安徽卷)设函数f(x)＝x³+x²+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是(　)

A．[－2,2]　 　　　　　　　　　B．[，]

C．[，2]　 　　　　　　　　D．[，2]

解析：选D.∵f′(x)＝sinθ·x²+cosθ·x，

∴f′(1)＝sinθ+cosθ＝2sin(θ+)．

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．

∴sin(θ+)∈[，1]．

∴2sin(θ+)∈[，2]．

5．曲线y＝x³+x²在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　B.

C.　 　　　　　　　　　　　D.

解析：选D.易知点T为切点，由f′(1)＝2，故切线方程为：y＝2x－，其在两坐标轴的截距分别为，－，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××|－|＝.

4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(　)

解析：选B.设二次函数为y＝ax²+b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又∵a<0，故选B.