1.下列命题中是真命题的是(　　 )

A.{}是空集　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{x∈N||x-1|＜3}是无限集

C.空集是任何集合的真子集　　　　　　　　　　 　　　　　D.x²-5x＝0的根是自然数

解析:A中,{}的元素是;B中,集合元素是-1,0,1,2,3;C中,空集是任何非空集合的真子集;D中,x²-5x＝0的根是0和5,是自然数.

答案:D

13.设数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足:b_n＝a_n-a_n+2,c_n＝a_n+2a_n+1+3a_n+2(n＝1,2,3,…).

证明{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1(n＝1,2,3,…).

证明：必要性:设{a_n}是公差为d₁的等差数列,则b_n+1-b_n＝(a _n+1-a_n+3)-(a_n-a_n+2)＝(a _n+1-a_n)-(a _n+3-a _n+2)＝d₁-d₁＝0,

∴b_n≤b _n+1(n＝1,2,3,…)成立.

又c _n+1-c_n＝(a _n+1-a_n)+2(a _n+2-a _n+1)+3(a _n+3-a _n+2)＝d₁+2d₁+3d₁＝6d₁(常数)(n＝1,2,3,…).

∴数列{c_n}为等差数列.

充分性:设数列{c_n}是公差为d₂的等差数列,且b_n≤b _n+1(n＝1,2,3,…).

证法一:∵c_n＝a_n+2a _n+1+3a _n+2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴c _n+2＝a _n+2+2a _n+3+3a _n+4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①-②,得c_n-c _n+2＝(a_n-a _n+2)+2(a _n+1-a _n+3)+3(a _n+2-a_n+4)＝b_n+2b _n+1+3b _n+2,

∴c_n-c _n+2＝(c_n-c_n+1)+(c _n+1-c_n+2)＝-2d₂.

∴b_n+2b_n+1+3b_n+2＝-2d₂,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

从而有b_n+1+2b_n+2+3b_n+3＝-2d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

④-③,得(b_n+1-b_n)+2(b_n+2-b_n+1)+3(b_n+3-b_n+2)＝0.　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

∵b_n+1-b_n≥0,b_n+2-b_n+1≥0,b_n+3-b_n+2≥0,

∴由⑤得b_n+1-b_n＝0(n＝1,2,3,…).

由此不妨设b_n＝d₃(n＝1,2,3,…),则a_n-a _n+2＝d₃(常数).

由此c_n＝a_n+2a_n+1+3a_a+2＝4a_n+2a_n+1-3d₃,

从而c_n+1＝4a_n+1+2a_n+2-3d₃＝4a _n+1+2a_n-5d₃.

两式相减,得c_n+1-c_n＝2(a_n+1-a_n)-2d₃,

因此a_n+1-a_n＝(c_n+1-c_n)+d₃＝d₂+d₃(常数)(n＝1,2,3…),

∴数列{c_n}是等差数列.

证法二:令A_n＝a _n+1-a_n,由b_n≤b _n+1,知a_n-a _n+2≤a _n+1-a _n+3,

从而a _n+1-a_n≥a _n+3-a _n+2,即A_n≥A _n+2(n＝1,2,3…).

由c_n＝a_n+2a _n+1+3a _n+2,c _n+1＝a _n+1+2a _n+2+3a _n+3,得c _n+1-c_n＝(a _n+1-a_n)+2(a _n+2-a _n+1)+3(a _n+3-a _n+2),

即A_n+2A _n+1+3A _n+2＝d₂时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

由此得A _n+2+2A _n+3+3A_n+4＝d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

⑥-⑦,得(A_n-A _n+2)+2(A _n+1-A _n+3)+3(A _n+2-A_n+4)＝0.　　　　　　　　　　　　 ⑧

∵A_n-A _n+2≥0,A _n+1-A _n+3≥0,A _n+2-A _n+4≥0,

∴由⑧,得A_n-A _n+2＝0(n＝1,2,3,…).

于是由⑥,得4A_n+2A _n+1＝A_n+2A _n+1+3A _n+2＝d₂,　　　　　　　　　　　　　 ⑨

从而2A_n+4A _n+1＝4A _n+1+2A _n+2＝d₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

由⑨和⑩,得4A_n+2A _n+1＝2A_n+4A _n+1,

故A _n+1＝A_n,

即a _n+2-a _n+1＝a _n+1-a_n(n＝1,2,3,…),

∴数列{c_n}是等差数列.

12.判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.

解法一：直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.

原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集非空,则a≥1.

逆否命题:已知a,x为实数,如果a＜1,则关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集为空集.

判断如下:抛物线:y＝x²+(2a+1)x+a²+2开口向上.

判别式Δ＝(2a+1)²-4(a²+2)＝4a-7.

∵a＜1,∴4a-7＜0,即抛物线y＝x²+(2a+1)x+a²+2与x轴无交点,

∴关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.

解法二:根据命题之间的关系“原命题与逆否命题同真同假”,只需判断原命题的真假即可.

∵a,x为实数,且关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0的解集非空,

∴Δ＝(2a+1)²-4(a²+2) ≥0,即4a-7≥0,

解得a≥.

∵a≥＞1,

∴原命题为真.

又∵原命题与其逆否命题同真同假,

∴逆否命题为真.

解法三:利用充要条件与集合的包含、相等关系求解.命题p:关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0有非空解集.命题q:a≥1.

∴p:A＝{a|关于x的不等式x²+(2a+1)x+a²+2≤0有实数解}

＝{a|(2a+1)²-4(a²+2) ≥0}＝{a|a≥}.q:B＝{a|a≥1}.

∵AB,

∴“若p则q”为真.

∴“若p则q”的逆否命题:“若q则p”为真,即原命题的逆否命题为真.

11.已知p:||≤2,q:x²-2x+1-m²≤0(m＞0),而p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为_______________.

解析：由题意,知q是p的必要不充分条件.由p:-1≤x≤11;由q:1-m≤x≤1+m,因此所以m≥10.

答案：m≥10

10.设p、q是两个命题,p:(|x|-3)＞0,q:＞0,则p是q的___________条件.

解析：考查充要条件的判定及不等式解法.

∵p:(|x|-3)＞00＜|x|-3＜13＜|x|＜4-4＜x＜-3或3＜x＜4;

q:＞0()()＞0x＞或x＜,

∴p是q的充分而不必要条件.

答案：充分而不必要

9.若集合A＝{1,m²},B＝{2,4},则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的___________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选一个填在横线上)

解析:∵A∩B＝{4}的充分条件是m²＝4,

即m＝±2,

∴“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件.

答案:充分不必要

8.(2008陕西高考,文6)“a＝1”是“对任意正数x,≥1”的(　　 )

A.充分不必要条件　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

解析:a＝1≥＞1,显然a＝2也能推出,所以“a＝1”是“对任意正数x,≥1”的充分不必要条件.

答案:A

7.下列各小题中,p是q的充要条件的是…(　　 )

①p:m＜-2或m＞6;q:y＝x²+mx+m+3有两个不同的零点

②p:＝1;q:y＝f(x)是偶函数

③p:cosα＝cosβ; q:tanα＝tanβ

④p:A∩B＝A;q:BA

A.①②　　 　　　　　　　B.②③　　　 　　　　　　C.③④　　　 　　　　　　D.①④

解析:②由可得f(-x)＝f(x),但y＝f(x)的定义域不一定关于原点对称;③α＝β是tanα＝tanβ的既不充分也不必要条件.

答案:D

6.在△ABC中,“A＞30°”是“sinA＞”的…(　　 )

A.充分而不必要条件　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　B.必要而不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

解析:举反例,如A＞30°,设A＝160°,则sinA＝sin20°＜sin30°＝,则“A＞30°”不是“sinA＞”的充分条件;如果sinA＞,则A∈(30°,150°),

即有A＞30°.故选B.

答案：B

5.设p、q是简单命题,则“p且q为假”是“p或q为假”的(　　 )

A.必要不充分条件　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B.充分不必要条件

C.充要条件　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D.不充分且不必要条件

解析:由“p且q为假”,知p、q中至少有一个为假即可;而“p或q为假”,则p、q都为假.由此可推得“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件,故选A.

答案:A