4.实数在数轴上对应点的位置如图所示，

则必有(　　 )

A．和为正数　　　 B．和为负数

C．积为正数　　　 D． 积为负数

[命题意图]：①考察目的：此题主要考察学生对数轴上的点与有理数的对应关系的掌握，此外此题中还包含了有理数的的运算符号的确定。

②试题特色与亮点：把有理数的运算符号的确定与数轴相结合。

③测试后讲评，点a与点b表示的数分别在原点左右两侧且距离相等，则两数互为相反数，和为0，积为负。

[答案]：D　 [试题来源]：原创

3．如图所示的一组几何体的俯视图是(　　 )

　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.

[命题意图]：①考察目的：此题考查学生对三视图的掌握情况

②试题特色和亮点是：此题源自书本上的内容，让学生知道学习不能离开书本。

③测试后评讲,三视图时指对一个物体分别从三个方向看得到得平面图形的形状，从上面看的叫俯视图，从左面看的叫左视图，从右面看的叫右视图。

[答案]：C　 [试题来源]：原创

2．五名同学在为地震灾区的“爱心捐助”活动中，捐款数额为8，10，10，5，7(单位:元)，这组数据的中位数是(　　 )

A．10　　　　　 B．8　　　　　 C．9　　　　　　 D． 6

[命题意图]：①考察目的：此题主要考察学生对统计中的众数、中位数的理解与掌握的程度，。

②试题特色和亮点是：让学生在做题中体会一种“爱心”

③测试后评讲：此题要分清概念，知道什么是众数，中位数。中位数是指处在最中间位置的那个数或两个数的平均数。

[答案]：B　　 [试题来源]原创

1．2009年4月22日北京新闻报道“自去年10月1日对外开放以来，北京‘鸟巢’共接待游客接近350万人次.” 350万这个数字用科学计数法表示为(　 )

A．3.5×10 　　B．3.5×10　 　C．3.5×10　 D．35×10

[命题意图]：①考察目的：此题主要考察学生对科学计数法的掌握程度。

②试题特色和亮点是：此题与人们关心的北京奥运后的鸟巢现状相结合，让学生在轻松的环境中答题。

③测试后评讲：科学计数法要把一个数写成a×10(1≤a＜10 )的形式，其中350万=3500000，然后再用科学计数法表示。

[答案]：C　 [试题来源]：原创

18、(1)已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)

(2)已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．

[试题来源](2007无锡市中考题)

解：(1)如图(共有2种不同的分割法，)

(2)设，，过点的直线交边于．在中，

①若是顶角，如图18-1，则，

，．

此时只能有，即，

，即．

②若是底角，则有两种情况．

第一种情况：如图18-2，当时，则，

中，，．

1．由，得，此时有，即．

2．由，得，此时，即．

3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．

第二种情况，如图18-3，当时，，，此时只能有，

从而，这与题设是最小角矛盾．

当是底角时，不成立．

[命题意图]本题是一道压轴题，也是一道开放探索题。第(1)问是计算与作图相结合的探索。本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求。第(2)问在第(1)问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系。本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题。

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17、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

(1)求AD的长；

(2)设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

[试题来源]2008年龙岩市中考试题

[参考答案]

(1)解法一：如图17-1

过A作AE⊥CD，垂足为E .

　依题意，DE=.　

　在Rt△ADE中，AD=.　　　　

　解法二：如图17-2

　过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 .

∠AED=∠C=60°.

又∵∠D=∠C=60°，

∴△AED是等边三角形 .

∴AD=DE=9－4=5 .　

2)解：如图17-1

∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，

△PDQ的面积S可表示为：

S=PD·h　　 =(9－x)·x·sin60°

=(9x－x²) =－(x－)²+.　 由题意，

知0≤x≤5 .　

当x=时(满足0≤x≤5)，S_最大值=.　

(3)证法一：如图17-3

假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .

于是9－x=x，x=.　

此时，点P、Q的位置如图25-3所示，

连QP。△PDQ恰为等边三角形 .

过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.

连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .

易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD　　　　

∴MP∥QD ,　　 ∴四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD ,　

∴四边形PDQM是菱形 。

所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.　　　　

证法二：如图17-4存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .　

于是9－x=x，x=.

此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .

过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .

易知∠1=∠C .

∴PQ∥BC .

又∵DO⊥PQ，　 ∴MC⊥MD

∴MP= CD=PD

即MP=PD=DQ=QM

∴四边形PDQM是菱形

所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=　

[命题意图]本题是一道压轴题，也是一道开放探索题，第(2)问是条件开放，第(3)问是结论开放。本题既考察了学生的分析作图能力，又考察学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识。这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间。

15、一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．如果用小刚抛掷正方体骰子朝上的数字，小强抛掷正方体骰子朝上的数字来确定点，那么他们各抛掷一次所确定的点落在已知直线图象上的概率是多少？

[试题来源]青海省西宁市2008年高中试题

[参考答案]解：由题意可得，化为不等式组解得。，且为正整数，．要使点落在直线图象上，则对应的，3，1 。满足条件的点有(1，5)，(2，3)，(3，1)抛掷骰子所得点的总个数为36． 点落在直线图象上的概率。答：点落在直线图象上的概率是．

[命题意图]本题巧妙地把概率、不等式组、一次函数等知识结合在一起，出题思路新颖，别具一格。有利于考察学生灵活应用基础知识解决问题的能力。

14、振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．

(1)他们一共调查了多少人？ 　(2)这组数据的众数、中位数各是多少？　

(3)若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？　

[试题来源]2009 年山东莱芜中考题

[参考答案]解：(1)设捐款30元的有6x人，则8x+6x=42．

　∴ x=3．∴ 捐款人数共有：3x+4x+5x+8x+6x=78(人)．　

(2)由图象可知：众数为25(元)；由于本组数据的个数为78，按大小顺序

排列处于中间位置的两个数都是25(元)，故中位数为25(元)． (3) 全校共捐款：

(9×10+12×15+15×20+24×25+18×30)×=34200(元)．

[命题意图]本题是一道把统计知识与实际生活中的问题联系起来的应用题，以考察学生处理数据的能力，使学生初步体会统计知识与生活、社会和科技的联系，感受数学应用的意义。培养学生自觉应用数学知识解决实际问题的能力。

13、如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

(1)求证：是的中点；

(2)如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．

[试题来源]青海省2008年中考考试数学试卷

[参考答案]

(1)证明：， ． 是的中点， ．又， ． ． ， ．

即是的中点．(2)解：四边形是矩形证明：，，

四边形是平行四边形． ，是的中点， ．

即． 四边形是矩形．

[命题意图]此题是一道几何结论开放题，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神。