如图①，直线AB的解析式为y＝kx－2k(k＜0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO＝60°．经过A、O两点的⊙O₁与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．

(1)求C点的坐标；

(2)如图②，过O₁作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接OO₁与⊙O₁交于点G，点P为劣弧上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧运动时(不与G、F两点重合)，O₁H－O₁I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围．