摘要：2．命题和证明 (1)命题和逆命题 人们在思维活动中.经常要对客观事物做出判断．例如: (i)雪是白的, (ii)如果∠1和∠2是对顶角.那么∠1=∠2, (iii)3+4=6, 上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真).也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句都是命题． 关于命题的真假性.有些容易判断.如是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1.y=0.那么 因此.命题(iv)为假命题(注意:证明一个命题为真命题.必须通过逻辑推演.但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)． 数学命题具有多种形式.经常采用的命题形式是“若α.则β .“如果α.那么β ． 命题“若α.则β 或是真命题.或是假命题.二者必居其一．“若 当由α不可能推出β时.“若α.则β 便是假命题． 在命题“若α.则β 中.α叫作这个命题的条件.β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α.则β 的条件和结论互换.就得到一个新命题“若β.则α .这两个命题之间具有互连关系.其中一个叫作原命题时.则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题． 当“如果α.则β 为真命题时.它的逆命题“如果β.则α 不一定是真命题．例如: (i)“如果2×3=6.那么6÷3=2 是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2.那么2×3=6 也是真命题． (ii)“若a=0并且b=0.则ab=0 是真命题.但它的逆命题“若ab=0.则a=0并且b=0 就不是真命题． (iii)“如果∠1.∠2是对顶角.那么∠1=∠2 是真命题.但它的逆命题“∠1=∠2.那么∠1.∠2是对顶角 就是假命题． (2)证明 我们要说明“若α.则β 是真命题时.以什么方式来推证呢?最常用的基本格式就是推出关系的传递性.即: 如果 那么 例如.(i)若 ∠1和∠2是对顶角.① 对顶角相等.② 则 ∠1=∠2．③ (ii) 张三是人.① 凡人必有死.② 所以张三必有死．③ 上述推理格式叫作三段论式.推理中的①.②是两个前提条件.①叫小前提.②叫大前提.③是由①.②推出的结论． 实际上.三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等 的证明过程.可以像下面这样来理解． 已知:∠1是∠2的对顶角.求证:∠1=∠2． 证 从上述证明过程可知.要证明“若α.则β .我们先设法找出一 应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据.经过推演.导出某一命题成立.这种方法就叫作演绎推理法．演绎法是证明数学问题的重要方法． ＝a2+b2+c2 2=a2+b2+c2. 例2 某校数学竞赛.A.B.C.D.E.F.G.H八位同学获得了前八名.老师叫他们猜一下谁是第一名．A说:“或者F.或者H是第一名． B说:“我是第一名． C说:“G是第一名． D说:“B不是第一名． E说:“A说的不对． F说:“我不是第一名． G说:“C不是第一名． H说:“我同意A的意见． 老师说八个人中有三人猜对了.那么试问第一名是谁? 分解与解 由已知条件可知:A与H同真假.E与F同真假.B与D必定一真一假． (i)如果A与H猜对了.那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对.不合题意.因此.A与H必定都猜错了． (ii)如果E与F猜对了.即F与H都不是第一名.这时若B猜对了.那么D就猜错了.C也猜错了.G猜对了.这样.就有E.F.B.G四人猜对.也与题意不符．因此B猜的不对.D猜对了.这时已有E.F.D三人猜对.所以G.C都必定猜错了.所以C是第一名． 练习十七

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