摘要：2．求根法 我们把形如anxn+an-1xn-1+-+a1x+a0的代数式称为关于x的一元多项式.并用f.-等记号表示.如 f(x)=x2-3x+2.g(x)=x5+x2+6.-. 当x=a时.多项式f表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0, f2-3×(-2)+2=12． 若f(a)=0.则称a为多项式f(x)的一个根． 定理1 若a是一元多项式f=0成立.则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理.找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x).要求出它的根是没有一般方法的.然而当多项式f(x)的系数都是整数时.即整系数多项式时.经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2 的根.则必有p是a0的约数.q是an的约数．特别地.当a0=1时.整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数． 我们根据上述定理.用求多项式的根来确定多项式的一次因式.从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式:x3-4x2+6x-4． 分析 这是一个整系数一元多项式.原式若有整数根.必是-4的约数.逐个检验-4的约数:±1.±2.±4.只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0. 即x=2是原式的一个根.所以根据定理1.原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法.使每组都有因式(x-2)． 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+ =x2 =(x-2)(x2-2x+2)． 解法2 用多项式除法.将原式除以(x-2). 所以 原式=(x-2)(x2-2x+2)． 说明 在上述解法中.特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数.反之不成立.即-4的约数不一定是多项式的根．因此.必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证． 例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2． 分析 因为9的约数有±1.±3.±9,-2的约数有±1.± 为: 所以.原式有因式9x2-3x-2． 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(x2+1) 说明 若整系数多项式有分数根.可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式.如上题中的因式 可以化为9x2-3x-2.这样可以简化分解过程． 总之.对一元高次多项式f(x).如果能找到一个一次因式就可以分解为是比f(x)低一次的一元多项式.这样.我们就可以继续对g(x)进行分解了．

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