Question

如图四边形ABCD是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知.这时我们把形如的方程称为关于的 “勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

（1）构造一个“勾系一元二次方程”: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

（2）证明:关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若是 “勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求△的面积.

Answer 1

解：（1）例如： ，只要 、、满足即可.… 2分

（2）

                        

          ………………………………  3分

 .              

      ∵ ，

∴  .   

∴ “勾系一元二次方程”必有实数根.    ………………………………  4分

（3）∵ 是“勾系一元二次方程”的一个根，

∴ .      

∴  .  ………………………………  5分             

又∵ 四边形的周长是，

∴ .

∴ .…………………………………………6分

∴ .

解法一：∵ ，

∴ .

∴ .

∴ =.…………………………………………7分

解法二：∴ =_四边形==.

…………………………………………7分