如图所示：一幅三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．
（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．
（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形GBHO的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
（3）若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

如图示：一幅三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，

(1).在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论。

(2).若AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围。

（3）在（2）的条件下，当△DHC为等腰三角形时，

求HC的长。

请阅读下列材料：
问题：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N．探究线段OM与ON的数量关系．
小聪同学的思路是：连接OC，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段OM与ON的数量关系；
（2）将这幅直角三角板如图2所示的方式摆放．使点D落在BA的延长线上，DE∥AC，FD的延长线与CA的延长线交于点M，BC的延长线与DE交于点N．点O是AB的中点．连接ON、OM、MN．请你判断线段OM与ON的数量关系和位置关系，并证明你的结论．