摘要：1．特殊化.一般化和类比推广 命题1 在△ABC中.∠C=90°.CD是斜边上的高.则有CD2=AD·BD． 这是大家所熟知的直角三角形射影定理． 类比命题1.如果CD是斜边上的中线.将怎样?由此得到命题2． 命题2 在△ABC中.∠C=90°. CD是斜边上的中线.则有CD=AD=BD． 这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=AD·BD)． 再类比.如果CD是∠C的平分线.将怎样?于是得到命题3． 命题3 在△ABC中.∠C=90°.CD是∠C的平分线.则有 这是一个新命题.证明如下. 引DE⊥BC于E.DF⊥AC于F． 因为 所以 我们把命题1.命题2.命题3一般化.考虑D点是AB上任一点.便产生了以下两个命题． 命题4 在△ABC中.∠C=90°.D是斜边AB上的任一内分点.则有 证 引DF⊥AC于F.DE⊥BC于E．因为 CD2-BD2＝CE2-BE2=BC. 而 所以 所以 即 命题5 在△ABC中.∠C=90°.D是斜边AB上的任一外分点.则有 证 只要令命题4之结论中AD为-AD.则有 我们再把命题4和命题5特殊化.令D点与A点重合.那么无论是①式或②式都有 AB2=BC2+AC2. 这就是我们熟知的勾股定理． 命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的.因此.它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理． 定理 在△ABC中.AB=c.BC=a.AC=b.a在c上的射影为n. 时.取“- 号.∠B为钝角时.取“+ 号)． 证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况． 为此.我们作图2-109.其中∠DBA=90°.CD=x.CE⊥DB于E.并设CE=n．由命题4.立得 得 所以 b2=a2+c2-2cn． 同理可证图2-108的相应结论．
网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_737133[举报]
（2013•保定一模）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1
求证：AE=CD，AE⊥CD．
证明：延长CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∵
∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；
（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．
查看习题详情和答案>>
求证：AE=CD，AE⊥CD．
证明：延长CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∵
|
∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；
（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．
（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
①AF=AG=
AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
查看习题详情和答案>>
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
①②③④
①②③④
（填序号即可）①AF=AG=
| 1 | 2 |
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
等腰直角三角形
等腰直角三角形
．
如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即
和
，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是
π？
查看习题详情和答案>>
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即
 |
| OO1 |
|
| O1O2 |
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是
41+20
| ||
| 2 |
查看习题详情和答案>>
【老题重现】求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
| AB×PE |
| 2 |
| AC×PF |
| 2 |
| AB×CD |
| 2 |
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．
求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．
【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．
查看习题详情和答案>>
35、你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1的整数）．然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算：比较①～⑦各组两个数的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”）
①12
⑥67
（2）从上面各小题目的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是nn+1
（3）根据上面归纳猜想到的结论，可以得到20062007
查看习题详情和答案>>
（1）通过计算：比较①～⑦各组两个数的大小（在横线上填“＞”“=”“＜”）
①12
＜
21；②23＜
32；③34＞
43；④45＞
54；⑤56＞
65；⑥67
＞
76；⑦78＞
87；（2）从上面各小题目的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是nn+1
当n=1或n=2时，n n+1＜（n+1）n；当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（n+1）n（3）根据上面归纳猜想到的结论，可以得到20062007
＞
20072006（填“＞”“=”“＜”）