题目内容
如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即
 |
| OO1 |
|
| O1O2 |
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是
41+20
| ||
| 2 |
分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，
②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出
π=20（1+
）π+
，即可得出旋转次数．
②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出
41+20
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：
解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
∴顶点O在此过程中经过的路程为：
×2+
=（1+
）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
×2+
+2×
×1=1+π．
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
×3+
=（
+
）π，
②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵
×2+
=（1+
）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴
π=20（1+
）π+
，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，∴顶点O在此过程中经过的路程为：
| 90π×1 |
| 180 |
90π×
| ||
| 180 |
| ||
| 2 |
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
| 90π×12 |
| 360 |
| 90π× 2 |
| 360 |
| 1 |
| 2 |
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
| 90π×1 |
| 180 |
90π×
| ||
| 180 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵
| 90π×1 |
| 180 |
90π×
| ||
| 180 |
| ||
| 2 |
∴
41+20
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 2 |
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
练习册系列答案
相关题目
10、一方有难，八方支援．2010年4月14日青海玉树发生7.1级强烈地震，给玉树人民造成了巨大的损失．灾难发生后，实验中学举行了爱心捐款活动，全校同学纷纷拿出自己的零花钱，踊跃捐款支援灾区人民﹒小慧对捐款情况进行了抽样调查，抽取了40名同学的捐款数据，把数据进行分组、列频数分布表后，绘制了频数分布直方图．图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：7：1（如图）．
