摘要：12．如图所示.在三棱锥P-ABC中.AC＝BC＝2.∠ACB＝90°.AP＝BP＝AB.PC⊥AC. (1)求证:PC⊥AB, (2)求二面角B-AP-C的大小, (3)求点C到平面APB的距离． [解析] 所示.取AB中点D.连结PD.CD. ∵AP＝BP.∴PD⊥AB. ∵AC＝BC.∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D. ∴AB⊥平面PCD. ∵PC⊂平面PCD.∴PC⊥AB. (2)∵AC＝BC.AP＝BP.PC＝PC. ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC.∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°.即AC⊥BC. 且AC∩PC＝C. ∴BC⊥平面PAC. (1) 如图(2)所示.取AP中点E.连结BE.CE. (2) ∵AB＝BP.∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影. ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角． 在△BCE中.∠BCE＝90°.BC＝2. BE＝AB＝. ∴sin∠BEC＝＝. ∴二面角B-AP-C的大小为arcsin . 知AB⊥平面PCD. ∴平面APB⊥平面PCD. 如图(3)所示.过C作CH⊥PD.垂足为H. (3) ∵平面APB∩平面PCD＝PD. ∴CH⊥平面APB. ∴CH的长即为点C到平面APB的距离． 由(1)知PC⊥AB.又PC⊥AC. 且AB∩AC＝A.∴PC⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ABC.∴PC⊥CD. 在Rt△PCD中.CD＝AB＝.PD＝PB＝. ∴PC＝＝2.∴CH＝＝. ∴点C到平面APB的距离为.

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