Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E为AC的中点．
（1）求异面直线BE与PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则可用坐标表示向量，从而利用数量积公式可求；
（2）分别求平面BPE、ABE的法向量，再利用夹角公式，应注意二面角P-BE-C的平面角为钝二面角，从而得解．

解答：解：（1）以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有

BE

=(-2，1，0)，

PC

=(0，2，-1)，
∴cos＜

BE

，

PC

＞=

2

5

∴异面直线BE与PC所成角的余弦值为

2

5

；
（2）设平面BPE的法向量

n

=(x，y，z)，则有

BE • n  =-2x+y=0 BP • n =-2x+z=0

∴

n

=(1，2，2)
∵平面ABE的一个法向量为

n1

=(0，0，1)
∴cos＜

n

，

n1

＞=

2

3

∵二面角P-BE-C的平面角为钝二面角；
∴二面角P-BE-C的平面角的余弦值为-

2

3

点评：本题以三棱锥为载体，考查空间直角坐标系的建立，考查线线角，考查面面角，关键是正确利用公式．