摘要：11．设函数f(x)＝ax2+bx+c.且f(1)＝-.3a>2c>2b.求证:(1)a>0且-3<<-,(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点,(3)设x1.x2是函数f(x)的两个零点.则≤|x1-x2|<. 证明:(1)∵f(1)＝a+b+c＝-.∴3a+2b+2c＝0. 又3a>2c>2b.∴3a>0,2b<0.∴a>0.b<0.又2c＝-3a-2b.由3a>2c>2b. ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0.∴-3<<-. (2)∵f(0)＝c.f(2)＝4a+2b+c＝a-c. ①当c>0时.∵a>0.∴f(0)＝c>0且f(1)＝-<0. ∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当c≤0时.∵a>0.∴f(1)＝-<0且f(2)＝a-c>0.∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点． (3)∵x1.x2是函数f(x)的两个零点.则x1.x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根.∴x1+x2＝-.x1x2＝＝--.∴|x1-x2|＝＝ ＝ .∵-3<<-.∴≤|x1-x2|<.

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