摘要：21．如图所示.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形.其对角线AC＝2.BD＝.AE.CF都与平面ABCD垂直.AE＝1.CF＝2. (1)求二面角B-AF-D的大小, (2)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积． 命题意图:本题考查空间位置关系.二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力． 解答:(1)解:连接AC.BD交于菱形的中心O.过O作OG⊥AF.G为垂足.连接BG.DG. 由BD⊥AC.BD⊥CF得BD⊥平面ACF.故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD.所以BG⊥AF.DG⊥AF.∠BGD为二面角B-AF-D的平面角． 由FC⊥AC.FC＝AC＝2.得∠FAC＝.OG＝. 由OB⊥OG.OB＝OD＝.得∠BGD＝2∠BGO＝. (2)解:连接EB.EC.ED.设直线AF与直线CE相交于点H.则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD. 过H作HP⊥平面ABCD.P为垂足． 因为EA⊥平面ABCD.FC⊥平面ABCD. 所以平面ACEF⊥平面ABCD.从而P∈AC.HP⊥AC. 由+＝+＝1.得HP＝. 又因为S菱形ABCD＝AC·BD＝. 故四棱锥H-ABCD的体积V＝S菱形ABCD·HP＝.

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