摘要：20．已知函数f(x)＝.(x＞0) (1)函数f(x)在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论, (2)若当x＞0时.f(x)＞恒成立.求正整数k的最大值． 解析:(1)f ′(x)＝[-1-ln(x+1)]＝-[+ln(x+1)]． 由x＞0.x2＞0.＞0.ln(x+1)＞0.得f ′(x)＜0. 因此函数f(x)在区间上是减函数． (2)解法一:当x＞0时.f(x)＞恒成立.令x＝1有k＜2[1+ln2]． 又k为正整数．则k的最大值不大于3. 下面证明当k＝3时.f(x)＞(x＞0)恒成立． 即证明x＞0时(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立． 令g(x)＝(x+1)ln(x+1)+1-2x. 则g′(x)＝ln(x+1)-1. 当x＞e-1时.g′(x)＞0,当0＜x＜e-1时.g′(x)＜0. ∴当x＝e-1时.g(x)取得最小值g(e-1)＝3-e＞0. ∴当x＞0时.(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立． 因此正整数k的最大值为3. 解法二:当x＞0时.f(x)＞恒成立． 即h(x)＝＞k对x＞0恒成立． 即h(x)(x＞0)的最小值大于k. 由h′(x)＝.记Φ(x)＝x-1-ln(x+1)．(x＞0) 则Φ′(x)＝＞0. ∴Φ(x)在上连续递增． 又Φ(2)＝1-ln3＜0.Φ(3)＝2-2ln2＞0. ∴Φ(x)＝0存在惟一实根a.且满足:a∈(2,3).a＝1+ln(a+1). 由x＞a时.Φ(x)＞0.h′(x)＞0,0＜x＜a时.Φ(x)＜0.h′(x)＜0知: h(x)(x＞0)的最小值为h(a)＝＝a+1∈(3,4)． 因此正整数k的最大值为3.

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