摘要：19．已知f(x)＝x3+mx2-x+2(m∈R)． (1)如果函数f(x)的单调递减区间为(-.1).求函数f(x)的解析式, 若f(x)的导函数为f′(x).对任意的x∈.不等式f′(x)≥2xlnx-1恒成立.求实数m的取值范围． (文)若f(x)的导函数为f′(x).对任意的x∈.不等式f′(x)≥2(1-m)恒成立.求实数m的取值范围． 解:(1)f′(x)＝3x2+2mx-1. 由题意f′(x)＝3x2+2mx-1<0的解集是(-.1). 即3x2+2mx-1＝0的两根分别是-.1. 将x＝1或x＝-代入方程3x2+2mx-1＝0得m＝-1. ∴f(x)＝x3-x2-x+2. 由题意知3x2+2mx-1≥2xlnx-1在x∈ 时恒成立.即m≥lnx-x在x∈时恒成立． 设h(x)＝lnx-.则h′(x)＝-.令h′(x)＝0.得x＝. 当0<x<时.h′(x)>0,当x>时.h′(x)<0. ∴当x＝时.h(x)取得最大值.h(x)max＝ln-1＝ln2-ln3e.所以m≥ln2-ln3e. 因此m的取值范围是[ln2-ln3e.+∞)． (文)由题意知3x2+2mx-1≥2(1-m)在x∈时恒成立.即2mx+2m≥3-3x2.所以2m(x+1)≥3(1-x2)． 由于x∈.于是2m≥3(1-x).得m≥(1-x)． 而(1-x)<.所以m的取值范围为[.+∞)．

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