摘要：21．设函数fn(x)＝1+x-+--+.n∈N*. (1)讨论函数f2(x)的单调性, (2)判断方程fn(x)＝0的实数解的个数.并加以证明． 解:(1)f2(x)＝1+x-+.f2′(x)＝1-x+x2＝(x-)2+>0.故f2(x)在上单调递增． (2)f1(x)＝1+x.故f1(x)＝0有实数解x＝-1, f2(0)＝1>0.f2(-1)＝-+<0. ∵f2(x)在上单调递增. ∴f2(x)＝0在上有唯一实数解.从而f2(x)＝0在上有唯一实数解． 由此猜测fn(x)＝0在上有唯一实数解.证明如下: 当n≥2时.由fn(x)＝1+x-+--+. 得fn′(x)＝1-x+x2---x2n-3+x2n-2. 若x＝-1.则fn′(-1)＝2n-1>0,若x＝0.则fn′(0)＝1>0. 当x≠0且x≠-1时.fn′(x)＝. 当x<-1时.x+1<0.x2n-1+1<0.fn′(x)>0. 当x>-1时且x≠0.x+1>0.x2n-1+1>0.fn′(x)>0. 总之.fn′(x)>0.故fn(x)在上单调递增． 又fn(0)＝1>0.fn(-1)＝1-1------<0.所以当n≥2时.fn(x)＝0在上有唯一实数解.从而fn(x)＝0在上有唯一实数解． 综上可知.fn(x)＝0在上有唯一实数解．

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