摘要：12． 在四棱锥中.底面是矩形.平面... 以的中点为球心.为直径的球面交于点.交于点. (1)求证:平面⊥平面, (2)求直线与平面所成的角的大小, (3)求点到平面的距离. 方法二: (1)同方法一, (2)如图所示.建立空间直角坐标系.则... ..,设平面的一个法向量.由可得:.令.则 .设所求角为.则. 所以所求角的大小为. (3)由条件可得..在中.,所以,则, .所以所求距离等于点到平面距离的.设点到平面距离为则.所以所求距离为. 19 如图.正方形所在平面与平面四边形所在平面互 相垂直.△是等腰直角三角形. (I)求证:, (II)设线段的中点为.在直线上是否存在一点.使得?若存在.请指出点的位置.并证明你的结论,若不存在.请说明理由, (III)求二面角的大小. (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1.B , E , C . 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而.. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=, 于是·=·=0 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE.直线PM不在平面BCE内. 故PMM∥平面BCE. ------------8分 (Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为.并设=. . 即 取y=1.则x=1.z=3.从而. 取平面ABD的一个法向量为. . 故二面角F-BD-A的大小为arccos.--------------12分

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